Как решать задачи на аннуитетные платежи

Задачи про банковский кредит: аннуитетный платеж (страница 3)

• >
• Задачи про банковский кредит: аннуитетный платеж

17. Сложные задачи прикладного характера 1.

Вспоминай формулы по каждой теме 2. Решай новые задачи каждый день 3.

Пусть, например, клиент взял \(2,1\) млн рублей в банке под \(10\%\) годовых и должен погасить кредит через \(2\) года. Для того, чтобы понять, сколько рублей должен составлять его ежегодный платеж \(x\), можно составить таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после платежа}\\ \hline 1&2,1&2,1\cdot 0,01(100+10)=1,1\cdot 2,1&1,1\cdot 2,1-x\\ \hline 2&1,1\cdot2,1-x&(1,1\cdot2,1-x)\cdot0,01(100+10)&1,1(1,1\cdot2,1-x)-x\\ \hline \end{array}\] Т.к. в конце второго года кредит должен быть выплачен полностью, то это значит, что долг банку на конец второго года равен нулю.

То есть \(1,1(1,1\cdot2,1-x)-x=0\Leftrightarrow 1,1^2\cdot2,1-x(1,1+1)=0\). Отсюда находим ежегодный платеж \(x=1,21\) млн рублей.

В случае с аннуитетным платежом имеет место следующая формула: \[{\Large{\left(\frac{100+r}{100}\right)^n\cdot

Расчет аннуитетных платежей по кредиту: формула, пример

› › › Кредит выдается на условиях дальнейшего возвращения средств банку.

Причем вместе с погашением задолженности заемщик должен оплачивать процентную ставку.

Существует две основных формы погашения задолженности по займу:

1. аннуитетными платежами.
2. дифференцированными платежами;

Хотя большая часть заемщиков при выборе кредитной программы обращает основное внимание на размер процентной ставки и уже на основании данного параметра подбирает оптимальный заем, способ начисления процентов и погашения кредита также играет большую роль в окончательной его стоимости. Дифференцированные платежи являются более выгодными для заемщика. В случае подобного способа возвращения средств, клиент одновременно погашает и «тело» кредита и процентную ставку.

Благодаря этому, ежемесячные выплаты будут с каждым месяцев сокращаться, поскольку с каждым месяцев проценты начисляются на меньшую сумму (тело кредита уменьшается с каждым последующим платежом).

Аннуитет. Расчет периодического платежа в MS EXCEL.

По очевидным причинам данная форма расчета имеет ряд положительных черт.

Погашение ссуды (кредита, займа)

Рассчитаем в MS EXCEL сумму регулярного аннуитетного платежа при погашении ссуды.

Такой равновеликий платеж называется аннуитет.

В аннуитетной схеме погашения предполагается неизменность процентной ставки по кредиту в течение всего периода выплат. Определить величину ежемесячных равновеликих выплат по ссуде, размер которой составляет 100 000 руб., а процентная ставка составляет 10% годовых. Ссуда взята на срок 5 лет. Разбираемся, какая информация содержится в задаче: Заемщик ежемесячно должен делать платеж банку.

Этот платеж включает: сумму в счет погашения части ссуды и сумму для оплаты начисленных за прошедший период процентов на остаток ссуды; Сумма ежемесячного платежа (аннуитета) постоянна и не меняется на протяжении всего срока, так же как и процентная ставка. Также не изменяется порядок платежей – 1 раз в месяц; Сумма для оплаты начисленных за прошедший период процентов уменьшается каждый период, т.к. проценты начисляются только на непогашенную часть ссуды; Как следствие п.3 и п.1, сумма, уплачиваемая в счет погашения основной суммы ссуды, увеличивается от месяца к месяцу.

Заемщик должен сделать 60 равновеликих платежей (12 мес. в году*5 лет)

Задачи про банковский кредит: аннуитетный платеж

• >

17.

Пусть, например, клиент взял \(2,1\) млн рублей в банке под \(10\%\) годовых и должен погасить кредит через \(2\) года. Для того, чтобы понять, сколько рублей должен составлять его ежегодный платеж \(x\), можно составить таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после платежа}\\ \hline 1&2,1&2,1\cdot 0,01(100+10)=1,1\cdot 2,1&1,1\cdot 2,1-x\\ \hline 2&1,1\cdot2,1-x&(1,1\cdot2,1-x)\cdot0,01(100+10)&1,1(1,1\cdot2,1-x)-x\\ \hline \end{array}\] Т.к. в конце второго года кредит должен быть выплачен полностью, то это значит, что долг банку на конец второго года равен нулю.

То есть \(1,1(1,1\cdot2,1-x)-x=0\Leftrightarrow 1,1^2\cdot2,1-x(1,1+1)=0\). Отсюда находим ежегодный платеж \(x=1,21\) млн рублей. В случае с аннуитетным платежом имеет место следующая формула: \[{\Large{\left(\frac{100+r}{100}\right)^n\cdot

Задачи про банковский кредит: аннуитетный платеж (страница 2)

• >
• Задачи про банковский кредит: аннуитетный платеж

17.

Сложные задачи прикладного характера 1. Вспоминай формулы по каждой теме 2. Решай новые задачи каждый день 3.

Вдумчиво разбирай решения Аннуитетный платеж – это такая система выплат, при которой кредит выплачивается раз в год (месяц) равными платежами.При этом каждый год (месяц) до внесения платежа банк начисляет на оставшуюся часть долга некоторый процент, то есть оставшаяся сумма долга увеличивается на это количество процентов. Пусть, например, клиент взял \(2,1\) млн рублей в банке под \(10\%\) годовых и должен погасить кредит через \(2\) года. Для того, чтобы понять, сколько рублей должен составлять его ежегодный платеж \(x\), можно составить таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после платежа}\\ \hline 1&2,1&2,1\cdot 0,01(100+10)=1,1\cdot 2,1&1,1\cdot 2,1-x\\ \hline 2&1,1\cdot2,1-x&(1,1\cdot2,1-x)\cdot0,01(100+10)&1,1(1,1\cdot2,1-x)-x\\ \hline \end{array}\] Т.к.

в конце второго года кредит должен быть выплачен полностью, то это значит, что долг банку на конец второго года равен нулю. То есть \(1,1(1,1\cdot2,1-x)-x=0\Leftrightarrow 1,1^2\cdot2,1-x(1,1+1)=0\).

Отсюда находим ежегодный платеж \(x=1,21\) млн рублей.

В случае с аннуитетным платежом имеет место следующая формула: \[{\Large{\left(\frac{100+r}{100}\right)^n\cdot

Задачи про банковский кредит: дифференцированный платеж

• >

17. Сложные задачи прикладного характера 1. Вспоминай формулы по каждой теме 2.

Решай новые задачи каждый день 3. Вдумчиво разбирай решения Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц).При этом платежи каждый год разные.

Таким образом, если кредит взят на \(n\) лет, то это значит, что сумму кредита \(A\) разделили на \(n\) равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на \(\dfrac1n A\) по сравнению с долгом на начало года. Пример: Александр взял в банке кредит на \(50\,000\) рублей на \(3\) месяца, причем выплачивать кредит он должен ежемесячными выплатами так, чтобы сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину.

Сколько рублей составит переплата Александра по кредиту, если процентная ставка в банке \(10\%\)? Т.к. кредит взят на \(3\) месяца, то после первой выплаты долг должен составить \(A-\frac13A=\frac23 A\), после второй \(\frac23A-\frac13A=\frac13A\), а после третьей — \(\frac13A-\frac13A=0\) рублей. Составим таблицу, производя все вычисления в тыс.

рублей: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Выплата}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после выплаты}&\\ \hline 1&50&50+0,1\cdot 50&\frac23\cdot 50&0,1\cdot 50+\frac13\cdot 50\\

Банковский кредит. Аннуитетный платеж

• >

1. Читай полную теорию 2. Вникай в доказательства 3.

Применяй на практике Аннуитетный платеж – это такая система выплат, при которой кредит выплачивается ежегодно (ежемесячно) равными платежами. При этом каждый год (месяц) до внесения платежа банк начисляет на оставшуюся часть долга некоторый процент, то есть оставшаяся сумма долга увеличивается на это количество процентов. Пример 1. Клиент взял в банке \(500\,000\) рублей под \(5\%\) годовых.

Сколько рублей он будет должен банку в конце первого года? Т.к. процентная ставка составляет \(5\%\), то в конце первого года клиент будет должен банку \(105\%\) от первоначальной суммы, т.е.

от \(500\,000\) рублей: \(\dfrac{105}{100}\cdot 500\,000=1,05\cdot 500\,000=525\,000\) рублей. Пример 2. Клиент взял \(2,1\) млн рублей в банке под \(10\%\) годовых и должен погасить кредит через \(2\) года равными ежегодными платежами.

Сколько рублей должен составлять его ежегодный платеж? Обозначим ежегодный платеж за \(x\) млн рублей. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после платежа}\\ \hline 1&2,1&2,1\cdot 0,01(100+10)=1,1\cdot 2,1&1,1\cdot 2,1-x\\ \hline 2&1,1\cdot2,1-x&(1,1\cdot2,1-x)\cdot0,01(100+10)&1,1(1,1\cdot2,1-x)-x\\ \hline \end{array}\] Т.к.

в конце второго года кредит должен быть выплачен полностью, то это значит, что долг банку на конец второго года равен нулю.

Типовые задачи с решениями

Стр 2 из 9 Задача 1 Согласно условиям финансового соглашения на счет в банке в течение 8 лет: а) в конце года; б) в начале года будут поступать денежные суммы, первая из которых равна 4 тыс.

долл., а каждая следующая будет увеличиваться на 0,5 тыс.

долл. Оцените этот аннуитет, если банк применяет процентную ставку 10% годовых и сложные проценты начисляются один раз в конце года. Как изменятся оценки аннуитета, если денежные суммы будут уменьшаться на 0,5 тыс.

долл.? Решение а) По условию задачи имеем переменный аннуитет постнумерандо с постоянным абсолютным изменением его членов.

Для оценки аннуитета воспользуемся формулами (2.1) и (2.2) при А = 4000; n =8; r =0,1; z =500 . Будущая стоимость аннуитета постнумерандо при условии, что денежные суммы будут увеличиваться, составит 62923 долл.

Приведенную стоимость аннуитета можно найти и по формуле

. Приведенная стоимость аннуитета постнумерандо при условии, что денежные суммы будут увеличиваться, составит 29354 долл.

Если суммы будут уменьшаться, то z = -500 и, следовательно, по формулам (2.1) и (2.2) получаем: Будущая стоимость аннуитета постнумерандо при условии, что денежные суммы будут уменьшаться, составит 62923 долл. Приведенная стоимость аннуитета постнумерандо при условии, что денежные суммы будут уменьшаться, составит 13325 долл.

б) Оценки аннуитета пренумерандо по формулам (2.3) и (2.4) при z = 500 получаем FVpre =62923 × 1,1=69215

Тема 17.

Практические задачи

Прикладные задачи экономического содержания Это надо знать! Сложные проценты Решение задач на вычисление сложных процентов основано на использовании следующих формул: величина

увеличиваемая на p% в течение n периодов в конце n-го этапа становится равной при этом При последовательном изменении величины на

% в течение n периодов, она становится равной

.

где величины могут быть как положительными при увеличении величины на p%, так и отрицательными при уменьшении величины на p%.

Необходимо также понимать эквивалентность утверждений «больше на 10%» и «больше в 1,1 раза», «меньше на 75%» и «меньше в 4 раза».

Взаимосвязь этих утверждений можно записать в виде формул: если величина А больше величины В на p%, то

если величина А меньше величины В на p%, то

Кредиты Выбирая кредитную программу, потенциальные заемщики ориентируются на процентную ставку по кредиту. Однако на сумму выплачиваемых процентов влияет не только ставка, но и метод погашения кредита. Таких методов существует два: дифференцированные платежи и аннуитетные платежи.

Дифференцированный платеж

• Банковский кредит.
• >

1. Читай полную теорию 2. Вникай в доказательства 3. Применяй на практике – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц).

При этом платежи каждый год разные. Таким образом, если кредит взят на \(n\) лет, то это значит, что сумму кредита \(A\) разделили на \(n\) равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на \(\dfrac1n A\) по сравнению с долгом на начало года.

Пример 1. Клиент взял в банке кредит на \(2\) года под \(15\%\) годовых. Выплачивать кредит он должен ежегодными платежами так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно. Какую сумму он взял в банке, если оказалось, что в итоге он заплатил банку \(490\,000\) рублей?

Пусть кредит составил \(A\) рублей. Т.к. кредит взят на \(2\) года, значит после первой выплаты долг должен составлять \(A-\frac12 A=\frac12 A\) рублей, после второй выплаты \(\frac12 A-\frac12 A=0\) рублей.